傅里叶级数证明巴塞尔问题

设有函数$f(x)=x$，其定义域为$x\in (-\pi ,\pi )$。这个函数的傅里叶级数是:

$$f(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2(-1{)}^{n+1}}{n}\sin (nx)$$

根据帕塞瓦尔恒等式，我们有：

$$\frac{{\pi }^2}{3}=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{f}^2(x)dx=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }(2\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}\sin (nt){)}^{2}dt=2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}$$

因此 :$${\pi^2 \over 6} = \sum_{n=1}^{\infty} {1 \over n^2}$$

证毕。